Question

【题目】如图,在△ABC中.AC=BC=5.AB=6.CD是AB边中线.点P从点C出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿C-D-C运动.在点P出发的同时，点Q也从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿边CA向点A运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设点P运动的时间为t秒.

（1）用含t的代数式表示CP、CQ的长度.

（2）用含t的代数式表示△CPQ的面积.

（3）当△CPQ与△CAD相似时，直接写出t的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当0＜t≤时，CP=2.5t，CQ=2t；当时，CP=8-2.5t，CQ=2t．

（2）当0＜t≤时，S△CPQ=PCsin∠ACDCQ=×2.5t××2t=；当时，S△CPQ=PCsin∠ACDCQ=×（8-2.5t）××2t=.

（3）0＜t≤或s

【解析】

（1）分两种情形：当0＜t≤时，当＜t时，分别求解即可．

（2）分两种情形：当0＜t≤时，当＜t≤时，根据S△CPQ=PCsin∠ACDCQ分别求解即可．

（3）分两种情形：当0＜t≤，可以证明△QCP∽△DCA，当＜t，∠QPC=90°时，△QPC∽△ADC，构建方程求解即可．

解：（1）∵CA=CB，AD=BD=3，

∴CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

∴CD===4，

当0＜t≤时，CP=2.5t，CQ=2t，

当时，CP=8-2.5t，CQ=2t．

（2）∵sin∠ACD==，

∴当0＜t≤时，S△CPQ=PCsin∠ACDCQ=×2.5t××2t=

当时，S△CPQ=PCsin∠ACDCQ=×（8-2.5t）××2t=.

（3）①当0＜t≤时，

∵CP=2.5t，CQ=2t，

∴=，

∵=，

∴，

∵∠PCQ=∠ACD，

∴△QCP∽△DCA，

∴0＜t≤时，△QCP∽△DCA，

②当时，当∠QPC=90°时，△QPC∽△ADC，

∴，

∴，

解得：，

综上所述，满足条件的t的值为：0＜t≤或s时，△QCP∽△DCA．