Question

【题目】如图①，将直角梯形放在平面直角坐标系中，已知，点在上，且，连结．

（1）求证：；

（2）如图②，过点作轴于，点在直线上运动，连结和．

①当的周长最短时，求点的坐标；

②如果点在轴上方，且满足，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②或8

【解析】

（1）先由已知条件及勾股定理求出AE=4，AB=，得到，又∠OAB=∠BAE，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似证明△OAB∽△BAE，得出∠AOB=∠ABE，再由两直线平行，内错角相等得出∠OBC=∠AOB，从而证明∠OBC=∠ABE；

（2）①由于CE为定长，所以当PC+PE最短时，△PCE的周长最短，而E与A关于BD对称，故连接AC，交BD于P，即当点C、P、A三点共线时，△PCE的周长最短．由PD∥OC，得出，求出PD的值，从而得到点P的坐标；

②由于点P在x轴上方，BD=4，所以分两种情况：0＜PD≤4与PD＞4．设PD=t，先用含t的代数式分别表示S△CEP与S△ABP，再根据S△CEP：S△ABP=2：1，即可求出DP的长．

解：（1）由题意可得：

∵OC=4，BC=3，∠OCB=90°，

∴OB=5．

∵OA=5，OE=1，

∴AE=4，AB=，

∵，

∴．

∵，

∴，

．

∵，

∴，

∴.

（2）①∵BD⊥x轴，ED=AD=2，

∴E与A关于BD对称，

当点共线时，的周长最短．

∵，

∴，即

∴

∴．

②设，

当时，如图：

∵梯，

；

又∵．

∴，

∴；

当时，如图：

∵，，

∴

．

．

∴所求DP的长为或8.