Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，tanA=

1

2

，cosB=

3 10

10

，若△ABC最长的边为1，则最短边的长为

 

．

Answer 1

分析：利用特殊角的三角函数的值得到tanA=

1

2

＜tan45°=1，cosB=

3 10

10

＞

2

2

=cos45°，可判断A＜45°，B＜45°，则最长的边为AB，则AB=1；过C作AB的垂线，垂足为D，
设BD=3x，则BC=

10

x，用勾股定理求得CD=x，再根据tanA=

CD

AD

=

1

2

得到AD=2x，并且根据勾股定理可x表示AC，利用AB=2x+3x=1求出x，这样易得到最短边AC的长．

解答：解：∵tanA=

1

2

＜tan45°=1，cosB=

3 10

10

＞

2

2

=cos45°，∴A＜45°，B＜45°，
∴△ABC最长的边为AB，则AB=1，
过C作AB的垂线，垂足为D，如图，
∵cosB=

3 10

10

=

3

10

=

BD

BC

，设BD=3x，则BC=

10

x，
∴CD=

BC2-BD2

=x，
在Rt△ACD中，tanA=

CD

AD

=

1

2

，
∴AD=2x，AC=

AD 2+CD2

=

5

x，
而AB=1
∴2x+3x=1，解得x=

1

5

，
∴最短边AC的长=

5

5

．
故答案为

5

5

．

点评：本题考查了解直角三角形：利用锐角三角函数和勾股定理求出直角三角形形中未知的边与角叫解直角三角形．