Question

如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连结这四个中点得到四边形EFGH．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若AC=15，BD=10，求四边形EFGH的周长．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：

分析：（1）首先利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH为平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可；
（2）利用三角形的中位线定理得到四边形EFGH的周长等于对角线的和的一半即可．

解答：解：（1）∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=

1

2

AC，GH=

1

2

AC，
∴EF=GH，同理EH  FG
∴四边形EFGH是平行四边形；
又∵对角线AC、BD互相垂直，
∴EF与FG垂直．
∴四边形EFGH是矩形．

（2）∵EF=

1

2

AC，FG=

1

2

BD，
∴EF=7.5，FG=5
∴四边形EFGH的周长是2×（7.5+5）=25．

点评：本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及矩形的判断进行证明，是一道综合题．