Question

已知点M（a、b）在第一象限，一次函数的图象过M点，且在第一象限与坐标轴围成的三角形面积最小，一次函数的解析式

 

．

Answer 1

分析：设函数解析式为y=kx+m，代入点M的坐标去掉解析式中的m，然后用a和b表示出函数与坐标轴的交点，根据面积=

1

2

|x||y|求出面积表达式，根据不等式的性质可得出在面积取最小的时候k的表达式．

解答：解：设函数解析式为y=kx+m，
∵点M在图象上，
∴b=ka+m，即m=b-ak，
与x轴交点为（-

m

k

，0），与y轴交点为（0，m），
面积=

1

2

×（-

m

k

）×m=-

m2

2k

=-

(b-ak)2

2k

=

b2+a2k2-2kab

2k

=（-

b2

2k

）+（-

a2k

2

）+ab≥2

( -b2 2k )( - a2k 2 )

+ab=ab+ab=2ab，
当且仅当-

b2

2k

=-

a2k

2

，即k=-

b

a

时，面积最小．
故k=-

b

a

，m=b-ak=2b．
∴函数解析式为：y=-

b

a

x+2b．
故填：y=-

b

a

x+2b．

点评：本题考查待定系数法求函数解析式，综合了三角形和不等式的知识，难度较大，同学们要试着研究此类题目的解题思想．