Question

（2012•增城市一模）已知点A（-1，-1）在抛物线y=（k²-1）x²-2（k-2）x+1（其中x是自变量）上．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若B点与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线解析式；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点A坐标代入抛物线解析式，计算求出k的值，再根据抛物线对称轴x=-

b

2a

进行计算即可得解；
（2）先根据对称性求出点B的坐标，再分直线过点B且与y轴平行时，与抛物线只有一个交点，直线过点B不与y轴平行时，设直线解析式为y=mx+n，把点B的坐标代入解析式得到一个关于m、n的方程，再与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，根据只有一个交点，利用根的判别式△=0，列式整理得到一个关于m、n的方程，两个方程联立求解即可得到m、n的值，从而求出直线解析式．

解答：解：（1）已知点A（-1，-1）在已知抛物线上，
则（k²-1）+2（k-2）+1=-1，
即k²+2k-3=0，
解得 k₁=1，k₂=-3，…分
当k=1时，函数y=（k²-1）x²-2（k-2）x+1为一次函数，不合题意，舍去，
当k=-3时，抛物线的解析式为y=8x²+10x+1，…（4分）
由抛物线的解析式知其对称轴为x=-

b

2a

=-

10

2×8

=-

5

8

，
即x=-

5

8

；…（5分）

（2）存在．
理由如下：∵点B与点A关于y=（k²-1）x²-2（k-2）x+1对称，且A（-1，-1），
∴B（-

1

4

，-1），…（6分）
当直线过B（-

1

4

，-1）且与y轴平行时，此直线与抛物线只有一个交点，
此时的直线为x=-

1

4

，…（8分）
当直线过B（-

1

4

，-1）且不与y轴平行时，
设直线y=mx+n与抛物线y=8x²+10x+1只交于一点B，
则-

1

4

m+n=-1，…（10分）
即m-4n-4=0，①
把y=mx+n代入y=8x²+10x+1，得8x²+10x+1=mx+n，…（11分）
即8x²+（10-m）x+1-n=0，…（12分）
由8x²+（10-m）x+1-n=0，△=0，得（10-m）²-32（1-n）=0，②
由①，②得

m=6 n= 1 2

故所求的直线为y=6x+

1

2

，
综上所述，存在与抛物线只交于一点B的直线x=-

1

4

或y=6x+

1

2

．…（14分）

点评：本题考查了二次函数的性质，抛物线的对称轴的求解，抛物线与直线的交点问题，以及根的判别式的应用，本题主要要分情况讨论．