Question

10．已知，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴正半轴、X轴正半轴分别交于A、B两点，点A坐标为A（0，m），点B坐标为B（n，0），且满足（m-3）¹+$\sqrt{n-4}$=0，
（1）分别求出点A，点B的坐标
（2）若点E在直线AB上，且满足三角形AOE的面积等于三角形AOB的面积的三分之一，求点E的坐标．
（3）平移线段BAZ至DC，B与O是对应点，A与C是对应点，连接AC，E为BA腐乳延长线上一点，连接OE，OF平分∠COE，AF平分∠EAC，OF交AF于F点，若∠ABO+∠OEB=α．请在图2中将图形补充完整，并求∠F（用含α的式子表示）

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后写出点A、B的坐标即可；
（2）设点E的横坐标为a，然后利用三角形的面积列式求出a的值，再利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后求解即可；
（3）根据平移的性质可得AB∥OC，AC∥OB，根据平行线的性质可得∠OEB=∠COE，∠CAE=∠ABO，然后根据角平分线的定义可得∠EAF=$\frac{1}{2}$∠CAE，∠EOF=$\frac{1}{2}$∠COE，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．

解答 解：（1）由非负数的性质得，m-3=0，n-4=0，
解得m=3，n=4，
所以，A（0，3）B（4，0）；

（2）当点E在第一象限时，同理可得E（4/3，2）
∵S_△AOE=$\frac{1}{3}$S_△AOB，
∴$\frac{1}{2}$×3（-a）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×3×4，
解得a=-$\frac{4}{3}$，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
所以，直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
当x=-$\frac{4}{3}$时，y=-$\frac{3}{4}$×（-$\frac{4}{3}$）+3=1+3=4，
所以，点E的坐标为（-$\frac{4}{3}$，4）；
当点E在第一象限时，同理可得E（$\frac{4}{3}$，2），
综上所述，点E的坐标为（-$\frac{4}{3}$，4）；（$\frac{4}{3}$，2）；
（3）由平移的性质，AB∥OC，AC∥OB，
∴∠OEB=∠COE，∠CAE=∠ABO，
∵OF平分∠COE，AF平分∠EAC，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠CAE，∠EOF=$\frac{1}{2}$∠COE，
由三角形的内角和定理，∠OEB+∠EAF=∠F+∠EOF，
∠OEB+$\frac{1}{2}$∠CAE=∠F+$\frac{1}{2}$∠COE，
∴∠F=∠OEB+$\frac{1}{2}$∠CAE-$\frac{1}{2}$∠COE=∠OEB+$\frac{1}{2}$∠CAE-$\frac{1}{2}$∠OEB=$\frac{1}{2}$（∠CAE+∠OEB），
∵∠ABO+∠OEB=α，
∴∠F=$\frac{α}{2}$．

点评 本题考查了坐标与图形性质，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，平移的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，难点在于（3）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理列出方程