Question

如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH⊥BC，垂足为H．已知BC=12，AH=8．
（1）当矩形DEFG为正方形时，求该正方形的边长；
（2）当矩形DEFG面积为18时，求矩形的长和宽．

Answer 1

解：（1）记AH与DG的交点为H，设正方形边长为x，
∵正方形DEFG，EF在边BC上
∴DG∥BC
得△ADG∽△ABC
∴…（2分）
由BC=12AH=8
可得…（1分）
∴…（2分）

（2）设DE=a，DG=b
可得…（1分）
即
∵矩形DEFG面积为18
即ab=18
∴…（1分）
解得a₁=2，a₂=6…（2分）
当a=2时，b=9；当a=6时，b=3
∴矩形的长宽分别为2、9或6、3．…（1分）
分析：（1）DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．
（2）设DE=a，DG=b，利用相似三角形得到，再根据矩形DEFG面积为18列出方程求得a值代入求得b值即可．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．