Question

如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH⊥BC，垂足为H．已知BC=12，AH=8．当矩形DEFG面积最大时，求矩形的长和宽．

Answer 1

分析：根据矩形面积=长×宽，可以先设出未知数DE=x，再把另一边用x表示出来，求出面积表达式，再根据二次函数的性质求最大值即可．

解答：解：设DE=x，S_矩形=y，
∵四边形DGFE是矩形，
∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴

AP

AH

=

DG

BC

，
∵AP=AH-PH=AH-DE=8-x，BC=12，AH=8，
∴

8-x

8

=

DG

12

，
∴DG=

3

2

（8-x），
∴y=DG•DE=

3

2

（8-x）x=12x-x²=-（x-6）²+36，
从而当x=6时，y有最大值36．此时矩形的宽为6，即四边形DGEF为正方形，
答：矩形DEFG的长和宽都是6．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质以及二次函数的应用，以及二次函数求最值的问题，只要能熟练掌握，便能很容易的解决问题．