题目内容
【题目】定义:如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC=AD=AE，当∠BAC+∠DAE=180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，△ADE的边DE上的高线AN叫做△ABC的“顶心距”，点A叫做“顶补中心”.
特例感知
（1）图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM，AN是“顶心距”,
①如图2，当∠BAC=90°时，AM与DE之间的数量关系为AM=_________DE,
②如图3，当∠BAC=120°，BC=6时，AN的长为_________,
猜想论证
（2）在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明.
拓展应用
（3）如图4，在四边形ABCD中，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，CD=2，在四边形|ABCD的内部是否存在点P，使 得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”?若存在，请给予证明，并求△PBC的“顶心距”的长；若不存在， 请说明理由.
【答案】(1)①
；②3； (2) AM=
DE，证明见解析； (3)存在，证明见解析， PM =1.
【解析】分析：(1)①证△BAC≌△DAE，得BC＝DE，由等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半得结论；②在△ABM中，用勾股定理求AB，根据△ADE是等边三角形求解；(2)用AAS证明△BAM≌△AND，得AM＝ND，而DE＝2ND；(3)连接AC，证明△ADC≌△ABC，得PA＝PB＝PC＝PD，证明∠APD＋∠BPC＝180°，得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”，结合(2)的结论求△PBC的“顶心距”的长.
详解：(1)①∵∠BAC＝90，
又∵∠BAC＋∠DAE＝180°，∴∠BAC＝∠DAE＝90°.
又∵AB＝AC＝AD＝AE，
∴△BAC≌△DAE，∴BC＝DE.
Rt△ABC中，AM是BC边上的高，
∴AM＝
BC，AM＝
DE.
故答案为
.
②∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ABC＝30.
Rt△ABM中，AB＝6，由勾股定理得，AM＝3，BM＝
，
∴AD＝2
.
∵∠BAC＋∠DAE＝180°，
∴∠DAE＝60°，
又∵DA＝EA，∴△ADE是等边三角形，
∴∠AND＝90°，∠DAN＝30°，∴DN＝
，AN＝3.
故答案为3.
(2)猜想:AM＝
DE.
证明:∵AB＝AC＝AD＝AE，AM，AN为高线，
∴∠DAN＝
∠DAE，∠BAM＝
∠BAC.
∵∠BAC＋∠DAE＝180°，∴∠DAN＋∠BAM＝90°.
∵∠DAN＋∠NDA＝90°，∴∠BAM＝∠NDA.
∵∠AMB＝∠AND＝90°，AB＝AD，∴△BAM≌△AND，
∴DN＝
DE，∴AM＝
DE.
(3)存在，
如图，连接AC，取AC的中点P，连接PB，PD.
∵AD＝AB，CD＝BC，AC＝AC，
∴△ADC≌△ABC，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.
∵P是AC的中点，
∴PB＝PA＝PC＝
AC，PD＝PA＝PC＝
AC.
∴PA＝PB＝PC＝PD，
又∵DC＝BC，PC＝PD，
∴△PDC≌△PBC，∴∠DPC＝∠BPC.
∵∠APD＋∠DPC＝180°，∠APD＋∠BPC＝180°，
∴△APD与△BPC互为“顶补等腰三角形”，
过点P作PM⊥AD，则PM为△PBC的“顶心距”PA＝PD，
∴AM＝DM，AP＝PC，
∴PM是△ACD的中位线，
PM＝
BC＝
BC＝1.
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【题目】九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x(天) | 1≤x<50 | 50≤x≤90 |
售价(元/件) | x+40 | 90 |
每天销量(件) | 200－2x | |
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元。
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于4800元？请直接写出结果。
