Question

16．如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．
（1）求证：∠FEB=∠ECF；
（2）若BC=6，DE=4，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）利用切线长定理得到OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，利用切线的性质得OB⊥BC，则∠BCO+∠COB=90°，由于∠FEB+∠FOE=90°，∠COB=∠FOE，所以∠FEB=∠ECF；
（2）连接OD，如图，利用切线长定理和切线的性质得到CD=CB=6，OD⊥CE，则CE=10，利用勾股定理可计算出BE=8，设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8-r，在Rt△ODE中，根据勾股定理得r²+4²=（8-r）²，解得r=3，所以OE=5，OC=3$\sqrt{5}$，然后证明△OEF∽△OCB，利用相似比可计算出EF的长．

解答 （1）证明：∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，
∴OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，OB⊥BC，
∴∠BCO+∠COB=90°，
∵EF⊥OG，
∴∠FEB+∠FOE=90°，
而∠COB=∠FOE，
∴∠FEB=∠ECF；
（2）解：连接OD，如图，
∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，
∴CD=CB=6，OD⊥CE，
∴CE=CD+DE=6+4=10，
在Rt△BCE中，BE=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8-r，
在Rt△ODE中，r²+4²=（8-r）²，解得r=3，
∴OE=8-3=5，
在Rt△OBC中，OC=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵∠COB=∠FOE，
∴△OEF∽△OCB，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{OE}{OC}$，即$\frac{EF}{6}$=$\frac{5}{3\sqrt{5}}$，
∴EF=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．