Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交⊙O于点D．
（1）请定出四个不同类型的正确结论；
①

 

；②

 

；
③

 

；④

 

．
（2）若BC=8，ED=2，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,圆周角定理

专题：计算题

分析：（1）由OD⊥BC，根据垂径定理得CE=BE，

CD

=

BD

；由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理得∠ACB=90°，然后根据三角形中位线的性质易得OE=

1

2

AC；
（2）设圆的半径为R，则OE=R-DE=R-2，OB=R，由BC=8得BE=

1

2

BC=4，在Rt△OBE中，根据勾股定理得到（R-2）²+4²=R²，解得R=5．

解答：解：（1）∵OD⊥BC，
∴CE=BE，

CD

=

BD

；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵点O为AB的中点，OE∥AC，
∴OE为△ACB的中位线，
∴OE=

1

2

AC；
故答案为CE=BE，

CD

=

BD

；∠ACB=90°；OE=

1

2

AC；
（2）设圆的半径为R，则OE=R-DE=R-2，OB=R，
∵BC=8，
∴BE=

1

2

BC=4，
在Rt△OBE中，∵OE²+BE²=OB²，
∴（R-2）²+4²=R²，解得R=5，
即⊙O的半径为5．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．