Question

已知：如图，反比例函数y=

k

x

（k≠0）与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象交于A（3，1）、B（m，-3）两点．
（1）求反比例函数y=

k

x

（k≠0）与一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式．
（2）若点P是直线y=kx+b（k≠0）上一点，且OP=

1

2

OA，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）把A（3，1）代入反比例函数y=

k

x

可得k的值，即确定反比例函数的解析式；再把B（m，-3）代入反比例函数的解析式得到m的值；然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）设点P点坐标（x，y），根据OP=

1

2

OA，以及勾股定理可得出点P坐标．

解答：解：（1）把A（3，1）代入反比例函数y=

k

x

，
得k=3，
∴反比例函数的解析式y=

3

x

；
再把B（m，-3）代入反比例函数的解析式，
得m=-1；
∴B（-1，-3），
把点A，B两点坐标代入一次函数的解析式得

3k+b=1 -k+b=-3

，
解得k=1，b=-2，
∴一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式为y=x-2；
（2）设点P点坐标（x，y），过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，
∵A（3，1），∴OA²=10，
∵P点坐标（x，y），∴OP²=x²+y²，
∵OP=

1

2

OA，
∴OP²=

1

4

OA²，
∴x²+y²=

1

4

×10，
把y=x-2代入x²+y²=

1

4

×10，
解得x₁=

3

2

，x₂=

1

2

；
∴点P坐标为P₁（

3

2

，-

1

2

），P₂（

1

2

，-

3

2

）．

点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，先由点的坐标求函数解析式，然后由勾股定理得出线段的平方，代入OP=

1

2

OA，得出点的坐标，同时也体现了数形结合的思想．