Question

【题目】已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(－2,0).

(1)填空：c= (用含b的式子表示)。

(2)若b＜4

①求证：抛物线与x轴有两个交点；

②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围为 ；

(3)直线y=x－4经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P，求抛物线的表达式。

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3） 或

【解析】试题分析：

（1）把点A（-2，0）代入y=x2+bx+c中得到关于b、c的等式，将等式变形即可得到用含“b”表示的c；

（2）①由（1）中所得结果可得：△=，结合b<4可得△>0，由此即可得到抛物线和x轴有两个不同的交点；

②根据①中所得结果可表达出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为，结合线段AB上恰好有5个整数点，即可求得b的取值范围；

（3）将抛物线配方，得到用“b”表达的顶点P的坐标，将所得坐标代入解出b的值，再代回中即可求得二次函数的解析式.

试题解析：

（1）把点A（-2，0）代入y=x2+bx+c得： ，

∴c=2b-4；

（2）① ∵在中， ，

∴当时， ，

即 ，

∴当 时，抛物线与x轴有两个交点；

②当时，有，

∵当时， ，

∴，

∴，

∴点B的坐标为 ，

当点B在点A的右边时，

∵点A的坐标为（-2，0），且线段AB上恰好有5个知识点，

∴这5个整数点所对应的数分别是-2，-1，0，1，2，

∴，

∴此时b的取值范围是： ；

当点B在点A的左侧时，这5个整数点分别是：-2，-3，-4，-5，-6，

∴，即，解得： ，

∵b<4，

∴此种情况不成立；

综上所述，可得b的取值范围为： ；

（3）∵

∴顶点P的坐标为： ，

将其代入 中，得， ，

解得， ，

∴抛物线的表达式为 或.