题目内容
如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起。
（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合），求证：BH·GD=BF2；
（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG，探究：FD+DG=______，请予证明。
（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合），求证：BH·GD=BF2；
（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG，探究：FD+DG=______，请予证明。
解：（1）∵将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，
∴∠B=∠D，
∵将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，
∴BF=DF，
∵∠HFG=∠B，
∴∠GFD=∠BHF，
∴△BFH∽△DGF，
∴
，
即BH·GD=BF·DF，
∴BH·GD=BF2；
（2）BD，证明如下：
∵AG∥CE，
∴∠FAG=∠C，
∵∠CFE=∠CEF，
∴∠AGF=∠CFE，
∴AF=AG，
∵∠BAD=∠C，
∴∠BAF=∠DAG，
又∵AB=AD，
∴△ABF≌△ADG（SAS），
∴FB=DG，
∴FD+DG=BD。
∴∠B=∠D，
∵将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，
∴BF=DF，
∵∠HFG=∠B，
∴∠GFD=∠BHF，
∴△BFH∽△DGF，
∴
，即BH·GD=BF·DF，
∴BH·GD=BF2；
（2）BD，证明如下：
∵AG∥CE，
∴∠FAG=∠C，
∵∠CFE=∠CEF，
∴∠AGF=∠CFE，
∴AF=AG，
∵∠BAD=∠C，
∴∠BAF=∠DAG，
又∵AB=AD，
∴△ABF≌△ADG（SAS），
∴FB=DG，
∴FD+DG=BD。
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