Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．易证：CE＝CF．

（1）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°．试猜想GE，BE，GD三线段之间的数量关系，并证明你的结论．

（2）运用（1）中解答所积累的经验和知识，完成下面两题：

①如图2，在四边形ABCD中∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，点E，点G分别是AB边，AD边上的动点．若∠BCD＝α，∠ECG＝β，试探索当α和β满足什么关系时，图1中GE，BE，GD三线段之间的关系仍然成立，并说明理由．

②在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N（如图3）．设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？若不变，请直接写出结论．

Answer 1

【答案】（1）GE=GD+DF，证明见解析；（2）β=2α时，GE=GD+DF仍然成立，理由见解析；（3）△BMN的周长没有变化，周长为2．

【解析】

（1）由正方形的性质可得∠BCD=∠B=∠ADC=90°，BC=CD，由∠CEG=45°可得∠BCE+∠DCG=45°，利用SAS可证明△BCE≌△DCF，可得∠BCE=∠DCF，CE=CF，即可得出∠FCG=45°，可得∠FCG=∠GCE，利用SAS可证明△CEG≌△CFG，可得EG=FG，根据BE=DF即可得出GE=GD+BE；

（2）①如图，延长AD到F，使DF=BE，连接CF，利用SAS可证明△BCE≌△DCF，可得∠BCE=∠DCF，CE=CF，根据GE=GD+BE可得EG=GF，利用SSS可证明△CEG≌△CFG，可得∠GCF=∠GCE，由∠GCF=∠GCD+∠DCF可得∠GCE=∠GCD+∠BCE，即可得出∠BCD=2∠GCE，可得答案；

②如图，延长BA，交y轴于H，由旋转的性质可得∠HOA=∠NOC，利用ASA可证明△HOA≌△NOC，可得AH=CN，OH=ON，由直线OM的解析式可得∠HAM=∠MON=45°，利用SAS可证明△HOM≌△NOM，可得HM=MN，可得MN=AM+CN，即可得出△MBN的周长p=AB+BC=2，即可证明△MBN的周长没有变化．

（1）GE=GD+DF，理由如下：

∵ABCD是正方形，

∴∠BCD=∠B=∠ADC=90°，BC=CD，

在△BCE和△DCF中，，

∴△BCE≌△DCF，

∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，

∵∠GCE=45°，

∴∠BCE+∠DCG=45°，

∴∠DCF+∠DCG=45°，即∠GCF=45°，

∴∠GCF=∠GCE，

在△CEG和△CFG中，，

∴△CEG≌△CFG，

∴GE=GF=GD+DF．

（2）当β=2α时，GE=GD+DF仍然成立，理由如下：

如图，延长AD到F，使DF=BE，连接CF，

在△BCE和△DCF中，，

∴△BCE≌△DCF，

∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，

∵EG=GD+BE，

∴EG=GD+DF=GF，

在△CEG和△CFG中，，

∴△CEG≌△CFG，

∴∠ECG=∠FCG，

∴∠ECG=∠DCF+∠DCG=∠BCE+∠DCG，

∴∠BCD=2∠ECG，即β=2α，

∴当β=2α时，图1中GE，BE，GD三线段之间的关系仍然成立．

（3）如图，延长BA，交y轴于H，

∵将正方形OABC绕O点顺时针旋转，

∴∠HOA=∠NOC，

在△HOA和△NOC中，，

∴△HOA≌△NOC，

∴AH=CN，OH=ON，

∵直线OM的解析式为y=x，

∴∠HOM=∠MON=45°，

在△HOM和△NOM中，，

∴HM=MN，

∴MN=AM+AH=AM+CN，

∴△BMN的周长p=BM+MN+BN=BM+AM+CN+BN=AB+BC=2，

∴△BMN的周长没有变化，周长为2．