Question

如图，在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
（1）如图1，当点C₁在线段CA的延长线上时，求∠CC₁A₁的度数；
（2）如图2，连结AA₁，CC₁．若△ABA₁的面积为4，求△CBC₁的面积．

Answer 1

解：（1）∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁，
∴∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，
∴∠CC₁B=∠C₁CB=45°，
∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°；

（2）∵△ABC≌△A₁BC₁，
∴BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，
∴，∠ABC+∠ABC₁=∠A₁BC₁+∠ABC₁，
∴∠ABA₁=∠CBC₁，
∴△ABA₁∽△CBC₁，
∴，
∵，
∴．
分析：（1）先由旋转的性质得出∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，再根据等边对等角得出∠CC₁B=∠C₁CB=45°，则∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=90°；
（2）先由旋转的性质得出△ABC≌△A₁BC₁，则BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，再根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似证明△ABA₁∽△CBC₁，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
点评：本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，（2）中证明△ABA₁∽△CBC₁，是解题的关键．