Question

1．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠BDC=∠A；
（2）若CE=2，DE=1，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据圆周角定理得出∠ADB=90°，求出∠A+∠DBO=90°，根据切线的性质求出∠ODC=90°，求出∠BDC+∠ODB=90°，即可得出答案；
（2）求出∠A=∠DCE，根据相似三角形的判定得出△AEC∽△CED，得出比例式，打扰求出即可．

解答 （1）证明：
连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠DBO=90°，
∵CD切⊙O于D，
∴∠CDO=90°，
∴∠BDC+∠ODB=90°，
∵OD=OB，
∴∠DBO=∠ODB，
∴∠BDC=∠A；


（2）解：∵CE⊥AE，
∴∠E=∠ADB=90°，
∴DB∥EC，
∴∠DCE=∠BDC，
∵∠BDC=∠A，
∴∠A=∠DCE，
∵∠E=∠E，
∴△AEC∽△CED，
∴$\frac{CE}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$，
∴$\frac{2}{1}$=$\frac{AE}{2}$，
∴AE=4，
∴AD=AE-DE=4-1=3．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．