Question

    如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．

   （1）求证：KE=GE；

   （2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；

   （3） 在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．

Answer 1

考点：切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。

解答：解：（1）如答图1，连接OG．x kb 1.com

∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，

∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，

又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，

∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，

∴KE=GE．

（2）AC∥EF，理由为：

连接GD，如答图2所示．

∵KG²=KD•GE，即=，

∴=，又∠KGE=∠GKE，

∴△GKD∽△EGK，

∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，

∴∠E=∠C，

∴AC∥EF；

（3）连接OG，OC，如答图3所示．

sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，

∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．

在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH²+HK²=AK²，

即（3t）²+t²=（）²，解得t=．

设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，

由勾股定理得：OH²+CH²=OC²，

即（r﹣3t）²+（4t）²=r²，解得r=t=．

∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，

在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH==，

∴FG===．