题目内容

如图，在平面直角坐标系中，以点A（ $数学公式$ ，0）为圆心，以2 $数学公式$ 为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E．
（1）若抛物线y= $数学公式$ x²+bx+c经过C、D两点，求出此抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点F，使得△FBD的周长最小；
（3）设Q为（1）中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（4）连接BD、CD，设P为（1）中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点P，使得△ABP与△DBC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵OA= $\text{[math]}$ ，AD=AC=2 $\text{[math]}$ ，
∴C（3 $\text{[math]}$ ，0）
又在Rt△AOD中，OA= $\text{[math]}$
∴OD= $\text{[math]}$ =3，
∴D（O，-3），
又∵D，C两点在抛物线上，
∴c=-3，
∴b=- $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-3；

（2）∵y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-3= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²-4；
∴抛物线的对称轴方程为：x= $\text{[math]}$ ，
∵BD的长为定值，∴要使△FBD周长最小，只需FB+FD最小，
连接DC，则DC与对称轴的交点即为使△FBD周长最小的点，
设直线DC的解析式为y=mx+n，
有n=-3，得：m= $\text{[math]}$ ，
∴直线DC的解析式为y= $\text{[math]}$ x-3，
由y= $\text{[math]}$ x-3，得x= $\text{[math]}$ ，
∴y=-2，
∴F的坐标为（ $\text{[math]}$ ，-2）；

（3）存在，
设Q（ $\text{[math]}$ ，t）为抛物线对称轴x= $\text{[math]}$ 上一点，M在抛物线上，
要使四边形BCQM为平行四边形，则BC∥QM且BC=QM，
①当点M在对称轴的左侧时，过点Q作直线L∥BC与抛物线交于点M（x，t），由BC=QM得QM=4 $\text{[math]}$ ，从而x=-3 $\text{[math]}$ ，t=12；故在抛物线上存在点M₁（-3 $\text{[math]}$ ，12）使得四边形BCQM为平行四边形；
②同理可知当点M在对称轴的右侧时，在抛物线上存在M₂（5 $\text{[math]}$ ，12）使得四边形BCQM为平行四边形；
③当点M在对称轴上时，在抛物线上存在M₃（ $\text{[math]}$ ，-4）使得四边形BMCQ为平行四边形；

（4）由（1）得B（- $\text{[math]}$ ，0），BD=2 $\text{[math]}$ ，DC=6，AB=2 $\text{[math]}$
∵BC为圆的直径，∴△BDC是直角三角形，
∴在Rt△BDC和Rt△PAB中
当 $\text{[math]}$ ，△BDC∽△P₁AB，∴AP₁= $\text{[math]}$ =6，∴P₁（ $\text{[math]}$ ，6）
当 $\text{[math]}$ ，△BDC∽△P₂AB，∴AP₂= $\text{[math]}$ =2，∴P₂（ $\text{[math]}$ ，2）
根据对称性可得P₃（ $\text{[math]}$ ，-6）．P₄（ $\text{[math]}$ ，-2）．
∴点P的坐标为P₁（ $\text{[math]}$ ，6），P₂（ $\text{[math]}$ ，2），P₃（ $\text{[math]}$ ，-6）．P₄（ $\text{[math]}$ ，-2）．
分析：（1）由已知条件先求出C，D两点的坐标，再把其横纵坐标分别代入抛物线的解析式求出b，c即可；
（2）BD的长为定值，所以要使△FBD周长最小，只需FB+FD最小，连接DC，则DC与对称轴的交点即为使△FBD周长最小的点；
（3）设Q（ $\text{[math]}$ ，t）为抛物线对称轴x= $\text{[math]}$ 上一点，M在抛物线上，要使四边形BCQM为平行四边形，则BC∥QM且BC=QM，再分①当点M在对称轴的左侧时和①当点M在对称轴的右侧时，讨论即可；
（4）由（1）得B（- $\text{[math]}$ ，0），BD=2 $\text{[math]}$ ，DC=6，AB=2 $\text{[math]}$ ，因为BC为圆的直径，所以△BDC是直角三角形，所以可判定Rt△BDC和Rt△PAB相似，有相似的性质和对称的性质可求出点P的坐标．
点评：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，需注意的是（3）题在不确定平行四边形边和对角线的情况下需要分类讨论，以免漏解．