Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O半径为1，BC＝4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）图中阴影部分的面积为．

【解析】

（1）连接OE、OD，根据切线的性质得到∠OAC=90°，根据三角形中位线定理得到OE∥BC，证明△AOE≌△DOE（SAS），根据全等三角形的性质、切线的判定定理证明；
（2）求出AC，AE的长，得出∠AOD=120°，根据扇形的面积公式计算即可．

（1）证明：连接OE、OD，如图，

∵AC是⊙O的切线，

∴AB⊥AC，

∴∠OAC＝90°，

∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，

∴OE∥BC，

∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠3，

∴∠1＝∠2，

在△AOE和△DOE中

,

∴△AOE≌△DOE（SAS）

∴∠ODE＝∠OAE＝90°，

∴DE⊥OD，

∵OD为⊙O的半径，

∴DE为⊙O的切线；

（2）∵⊙O半径为1，

∴AB＝2，

∵∠BAC＝90°，BC＝4，

∴∠C＝30°，AC＝，

∴∠B＝60°，

∴∠AOD＝2∠B＝120°，

又∵点E是AC的中点，

∴AE＝AC＝，

∴图中阴影部分的面积＝2S△AOE﹣S扇形AOD＝2×××1﹣＝﹣．