Question

3．阅读下列材料：
解答“已知x-y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x-y=2，又∵x＞1，∴y+2＞1，即y＞-1
又y＜0，∴-1＜y＜0．…①
同理得：1＜x＜2．…②
由①+②得-1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于x、y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=-1}\\{x+2y=5a-8}\end{array}\right.$的解都为非负数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知2a-b=1，求a+b的取值范围；
（3）已知a-b=m（m是大于1的常数），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）先把a当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围即可；
（2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a、b的取值范围，然后再来求a+b的取值范围；
（3）根据（1）的解题过程求得a、b取值范围；结合限制性条件得出结论即可．

解答 解：（1）因为关于x、y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=-1}\\{x+2y=5a-8}\end{array}\right.$的解都为非负数，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=a-2}\\{y=2a-3}\end{array}\right.$，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{a-2≥0}\\{2a-3≥0}\end{array}\right.$，
解得：a≥2；
（2）由2a-b=1，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1+b}{2}}\\{a≥2}\end{array}\right.$，
可得：$\frac{1+b}{2}≥2$，
解得：b≥3，
所以a+b≥5；
（3）$\left\{\begin{array}{l}{a=m+b}\\{a≥2}\end{array}\right.$，
所以m+b≥2，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{b≥2-m}\\{b≤1}\end{array}\right.$，
可得：2-m≤b≤1，
同理可得：2≤a≤1+m，
所以可得：6-m≤2a+b≤3+2m，
最大值为3+2m．

点评 本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．