Question

3．已知在△ABC中，D为边BC延长线上一点，点O是边AC上的一个动点，过O做直线MN∥BC，设MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠ACD的平分线相交于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）试确定点O在边AC上的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．
（3）在（2）的条件下，且△ABC满足∠ACB=90°条件时，矩形AECF是正方形？．

Answer 1

分析 （1）角平分线到角两边的距离相等，再利用全等三角形即可求解．
（2）探究性问题，归根究底还是对矩形性质的判定，再平行四边形的基础上，加上其对角线平分且相等即可．
（3）正方形的判定，在（2）的基础上，即在矩形的基础上补充对角线垂直即可．

解答 解：（1）如图所示：作EG⊥BC，EJ⊥AC，FK⊥AC，FH⊥BC，
因为直线EC，CF分别平分∠ACB与∠ACD，所以EG=EJ，FK=FH，
在△EJO与△FKO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠CON}\\{∠EJO=∠FKO}\\{EJ=FK}\end{array}\right.$，
所以△EJO≌△FKO，即OE=OF；

（2）当OA=OC，OE=OF时，四边形AECF是矩形，
证明：∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵直线MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA（△ABC的外角）的平分线相交于点F．
∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠FCD，
由∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠FCD=180°，
∴∠ECA+∠ACF=90°，即∠ECF=90°，
∴四边形AECF为矩形；

（3）由（2）可知，四边形AECF是矩形，要使其为正方形，再加上对角线垂直即可，即∠ACB=90°．
故答案为：∠ACB=90°

点评 此题考查正方形的判定问题，掌握角平分线到角两边距离相等，以及正方形，矩形的性质及判定定理．