题目内容
如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c
与x轴的另一交点为A，顶点为P．①求该抛物线的解析式和A点的坐标；
②连接AC，BP，求证：△BCP∽△OCA；
③在x轴上找一点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点Q的坐标．
分析：①确定B，C的坐标，代入抛物线y=x2﹢bx﹢c得到b，c的值．
②△BCP和△OCA的三条边都可求出，利用三边对应比证明．
③△ABC的∠B等于45°，确定Q点在B点左边．通过对应边的比求出QB，得到Q点坐标．
②△BCP和△OCA的三条边都可求出，利用三边对应比证明．
③△ABC的∠B等于45°，确定Q点在B点左边．通过对应边的比求出QB，得到Q点坐标．
解答：解：①y=-x+3，
x=0时，y=3，
y=0时，x=3，
∴B（3，0），C（0，3），
代入y=x2+bx+c得：
，
解得：b=-4，c=3，
即抛物线的解析式是：y=x2-4x+3，（2分）
当y=0时，x2-4x+3=0，
解得：x1=3，x2=1，
即A的坐标是（1，0）．
②解：A（1，0），B（3，0），C（0，3），P（2，-1），
由勾股定理得：CB=3
，CP=2
，BP=
，AC=
，OC=3，OA=1，
∴
=
=
=
，
∴△BCP∽△OCA
③∵∠ABC=∠ABP=45°，
∴点Q只能在点B的左侧，
若
=
，
即
=
可解得BQ=3，
∵B（3，0），
∴点Q坐标为（0，0）；
若
=
，即
=
，
解得BQ=
，点Q的坐标为（
，0）．（9分）
x=0时，y=3，
y=0时，x=3，
∴B（3，0），C（0，3），
代入y=x2+bx+c得：
|
解得：b=-4，c=3，
即抛物线的解析式是：y=x2-4x+3，（2分）
当y=0时，x2-4x+3=0，
解得：x1=3，x2=1，
即A的坐标是（1，0）．
②解：A（1，0），B（3，0），C（0，3），P（2，-1），
由勾股定理得：CB=3
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 10 |
∴
| AC |
| CP |
| OC |
| CB |
| OA |
| BP |
| ||
| 2 |
∴△BCP∽△OCA
③∵∠ABC=∠ABP=45°，
∴点Q只能在点B的左侧，
若
| AB |
| BC |
| BP |
| BQ |
即
| 2 | ||
3
|
| ||
| BQ |
可解得BQ=3，
∵B（3，0），
∴点Q坐标为（0，0）；
若
| AB |
| BC |
| BQ |
| BP |
| 2 | ||
3
|
| BQ | ||
|
解得BQ=
| 2 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
点评：①点在图象上那么它的坐标满足图象的解析式，在用待定系数法前要确定点的坐标．②判断两个三角形相似看条件选择定理．③对于没有确定对应关系的相似三角形要分类讨论．
练习册系列答案
相关题目
13、如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：（1）∠l=∠2；（2）∠3=∠6；（3）∠4+∠7=180°；（4）∠5+∠8=180°，其中能判断a∥b的是（ ）
4、如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=59°，则∠AED的度数为（ ）
如图，直线y=6-x交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数
17、如图，直线a∥c，b∥c，直线d与直线a、b、c相交，已知∠1=60°，求∠2、∠3的度数（可在图中用数字表示角）．