Question

请阅读下列材料：如图甲，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．由矩形的性质得，BO=AO=

1

2

AC．于是我们得到定理1：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
前面的条件不变，若∠ACB=30°，由矩形的性质得，∠AOB=60°，所以△ABO为等边三角形，所以AB=AO=

1

2

AC．于是我们得到定理2：直角三角形中，30°的直角边等于斜边的一半．请你运用以上两个定理，解答下面两题：
（1）如图乙，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC于点F，∠BDF=15°，则∠COF=

 

 度；
（2）如图丙，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，D为EF的中点，求AD的最小值．

Answer 1

考点：含30度角的直角三角形

专题：阅读型

分析：（1）根据DF平分∠ADC与∠BDF=15°可以计算出∠CDO=60°，再根据矩形的对角线相等且互相平分可得OD=OC，从而得到△OCD是等边三角形，再证明△COF是等腰三角形，然后根据三角形内角和定理解答即可；
（2）先判断四边形AEPF是矩形，然后根据矩形的性质就可以得出，EF，AP互相平分，且EF=AP，垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AD的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．

解答：解：（1）∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF=45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=CF，
∵∠BDF=15°，
∴∠CDO=∠CDF+∠BDF=45°+15°=60°，
在矩形ABCD中，OD=OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC=CD，∠OCD=60°，
∴OC=CF，∠OCF=90°-∠OCD=90°-60°=30°，
在△COF中，∠COF=

1

2

（180°-30°）=75°．
故答案为：75；
（2）在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，
∵AB²+AC²=16+9=25=5²=BC²，
∴△ABC是Rt△，且∠BAC=90°
∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF=AP，
∴EF，AP的交点就是D点．
∵当AP的值最小时，AD的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AD的值最小．
∵

1

2

AP•BC=

1

2

AB•AC，
∴AP•BC=AB•AC．
∵AB=4，AC=3，BC=5，
∴5AP=3×4，
∴AP=

12

5

．
∴AD=

6

5

．

点评：本题考查了矩形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟记各性质是解决本题的关键．