Question

如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，此时有OA∥PE．
（1）求证：AP=AO；
（2）若tan∠OPB=

1

2

，求弦AB的长；
（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为

 

，能构成等腰梯形的四个点为

 

或

 

或

 

．

Answer 1

分析：（1）由已知条件“射线PG平分∠EPF”求得∠DPO=∠BPO；然后根据平行线的性质，两直线OA∥PE，内错角∠DPO=∠POA；最后由等量代换知∠BPO=∠POA，从而根据等角对等边证明AP=AO；
（2）设OH=x，则PH=2x．作辅助线OH（“过点O作OH⊥AB于点H”），根据垂径定理知AH=HB=

1

2

AB；又由已知条件“tan∠OPB=

1

2

”求得PH=2OH；然后利用（1）的结果及勾股定理列出关于x的一元二次方程，解方程即可；
（3）根据菱形的性质、等腰梯形的判定定理填空．

解答：（1）证明：∵PG平分∠EPF，
∴∠DPO=∠BPO，
∵OA∥PE，
∴∠DPO=∠POA，
∴∠BPO=∠POA，
∴PA=OA；（2分）

（2）解：过点O作OH⊥AB于点H，则AH=HB=

1

2

AB，（1分）
∵tan∠OPB=

OH

PH

=

1

2

，∴PH=2OH，（1分）
设OH=x，则PH=2x，
由（1）可知PA=OA=10，∴AH=PH-PA=2x-10，
∵AH²+OH²=OA²，∴（2x-10）²+x²=10²，（1分）
解得x₁=0（不合题意，舍去），x₂=8，
∴AH=6，∴AB=2AH=12；（1分）

（3）解：P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B．（2分）
（写对1个、2个、3个得（1分），写对4个得2分）

点评：本题综合考查了垂径定理、勾股定理、菱形的性质、等腰梯形的判定定理及锐角三角函数的定义．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．