Question

23、如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉放置．
（1）求证：重叠部分的图形是菱形；
（2）求重叠部分图形的周长的最大值和最小值．
（要求画图﹑推理﹑计算）

Answer 1

分析：（1）首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
（2）画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可．

解答：解：（1）解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相同（对边平行），
∴AB∥CD，AD∥BC，AE=AF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S_?ABCD=BC•AE=CD•AF，
又∵AE=AF，
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm，
由勾股定理：x²=（8-x）²+2²，
得：4x=17，
即菱形的最大周长为17cm．
当两张纸条如图所示放置时，即是正方形时取得最小值为：2×4=8．

点评：本题考查了二次函数的最值及菱形的性质，难度较大，解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大和最小，然后根据图形列方程．