Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若（1）中的⊙O与AB的另一交点为E，AB=9，BD=3

3

，则扇形ODE的面积是

3

2

π

．（结果保留π）．

Answer 1

分析：（1）作出AD的垂直平分线FM，交AB于点O，以点O为圆心AO长为半径作圆得出即可，再利用切线的判定证明OD⊥BC即可；
（2）根据（1）中结论利用勾股定理得出DO的长，进而利用锐角三角函数关系得出∠BOD的度数，利用扇形面积公式求出即可．

解答：解：（1）如图所示；
BC是⊙O的切线，
理由：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴OD⊥BC于D，
∴BC是⊙O的切线．

（2）设OD=x，则OB=AB-AO=9-x，
∵OD⊥BC，
∴DO²+DB²=BO²，
∴x²+（3

3

）²=（9-x） ²，
解得：x=3，
故BO=6，
∵cos∠DOB=

DO

BO

=

3

6

=

1

2

，
∴∠DOB=60°，
∴扇形ODE的面积是：S=

60π×32

360

=

3

2

π．
故答案为：

3

2

π．

点评：此题主要考查了垂直平分线的性质和扇形面积求法和切线的判定与性质等知识，根据已知得出OD∥AC是解题关键．