Question

如图①，△ABC内接于⊙O，AB=AC，D是BC边上的一点，E是直线AD和△ABC外接圆的交点．
（1）求证：AB²=AD•AE；
（2）如图②，当D为BC延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）连接BE，由圆周角定理可知∠E=∠C，根据等腰三角形的性质可知∠ABC=∠C，所以∠E=∠ABC，再加公共角相等即可证明△ABE∽△ADB，利用相似三角形的性质即可得到AB²=AD•AE；
（2）结论成立，理由同（1）．

解答：证明：（1）连接BE，
∴∠E=∠C，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠E=∠ABC，
∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴AB：AD=AE：AB，
∴AB²=AD•AE；
（2）D为BC延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立，
理由如下：
连接BE，
∴∠AEB=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠AEB=∠ABC，
∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴AB：AD=AE：AB，
∴AB²=AD•AE．

点评：本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及圆周角定理，题目的综合性较强，难度中等．