Question

16．如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延长线于点E．
（1）求证：BD+2DE=$\sqrt{2}$BM．
（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD=1：2，且CM=2，则线段DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）过点M作MP⊥BC交BD的延长线于点P，首先证明△DEN≌△PEM，得到DE=PE，由△BMP是等腰直角三角形可知BP=$\sqrt{2}$BM，即可得到结论；
（2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出BC=2，再由△DFG∽△BMG即可求出DG的长．

解答 （1）证明：过点M作MP⊥BC交BD的延长线于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°，
∴PM∥CN，
∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，
∴BM=PM，
∵BM=DN，
∴DN=MP，
在△DEN和△PEM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEN=∠PEM}\\{∠P=∠NDE=45°}\\{DN=MP}\end{array}\right.$，
∴△DEN≌△PEM，
∴DE=EP，
∵△BMP是等腰直角三角形
∴BP=$\sqrt{2}$BM
∴BD+2DE=$\sqrt{2}$BM．
（2）解：∵AF：FD=1：2，
∴DF：BC=2：3，
∵△BCN∽△FDN，
∴$\frac{DF}{BC}=\frac{DN}{CN}$
设正方形边长为a，又知CM=2，
∴BM=DN=a+2，CN=2a+2
∴$\frac{a+2}{2a+2}=\frac{2}{3}$，
解得：a=2，
∴DF=$\frac{4}{3}$，BM=4，BD=2$\sqrt{2}$，
又∵△DFG∽△BMG，
∴$\frac{DG}{BG}=\frac{DF}{BM}$，
∴$\frac{DG}{2\sqrt{2}-DG}=\frac{\frac{4}{3}}{4}$，
∴DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，运用三角形相似求出正方形的边长是解决第2小题的关键．