Question

1．已知△ABC是等边三角形，BC=2cm，点D是直线BC上的一动点，以AD为边在直线BC的同侧作等边△ADE，过点C作CF∥DE交直线AB于点F，连接EF．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：△ACD≌△CBF；
（2）如图2，当点D在线段CB延长线上时，
①若BD=2，求证：四边形DCFE是矩形；
②在点D的移动过程中，四边形DCFE能成为菱形吗？说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ACD≌△BFC；
（2）①根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，再得出∠EDC=90°，证明矩形即可；
②根据分析得出DC＞ED，故不能为菱形．

解答 解：（1）∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠ABC=∠ADE=∠CAB=60°，AB=CA，
∴∠BDA=∠ADE+∠BDE=60°+∠BDE，
∠AFC=∠ABC+∠BCF=60°+∠BCF，
∵CF∥DE，
∴∠BDE=∠BCF，
∴∠BDA=∠AFC，
∴∠ADC=∠BFC
在△ACD和△CBF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠B}\\{∠ADC=∠BFC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BFC（AAS）；

（2）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠ABC=∠ADE=∠BAC=60°，AB=CA，
∴∠BDA=180°-∠ADE-∠GDE=120°-∠GDE，
∠AFC=180°-∠ABC-∠BCF=120°-∠BCF，
∵CF∥DE，
∴∠GDE=∠BCF，
∴∠BDA=∠AFC，
在△BAD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAF=120°}\\{∠BDA=∠AFC}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△ACF（AAS），
∴AD=CF，
∵AD=DE，
∴DE=CF且DE∥CF，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∵DB=AB=2，∠ADB+∠BAD=∠ABC=60°，
∴∠ADB=∠BAD=30°，
∴∠EDC=∠ADE+∠ADB=90°，
∴平行四边形DCFE是矩形；
②四边形DCFE不可能成为菱形，
∵t＞0，
∴BD＞0
在△BAD中，AB+BD＞AD，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，AB=BC，
∴BC+BD＞DE，即DC＞ED，
∴四边形DCFE不可能成为菱形．

点评 此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大．