Question

【题目】如图1，直线x+6与y轴交于点A，与x轴交于点D，直线AB交x轴于点B，将△AOB沿直线AB折叠，点O恰好落在直线AD上的点C处．

（1）求OB的长；

（2）如图2，F，G是直线AB上的两点，若△DFG是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；

（3）如图3，点P是直线AB上一点，点Q是直线AD上一点，且P，Q均在第四象限，点E是x轴上一点，若四边形PQDE为菱形，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）OB=3；（2）F（6，-6）；（3）E（-2，0）．

【解析】

（1）设BC=OB=x，则BD=8-x，在Rt△BCD中，根据，构建方程即可解决问题；

（2）作GM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，由△DMG≌△FND（AAS），推出GM=DN，DM=FN，设GM=DM=m，DM=FN=n，根据G、F在直线AB上，构建方程组即可解决问题；

（3）如图，设Q，因为PQ∥x轴，且点P在直线y=-2x+6上，推出P，PQ=，作QH⊥x轴于H．由勾股定理可知：QH：DH：DQ=3：4：5，构建方程即可解决问题．

解：（1）对于直线，令x＝0，得到y＝6，可得A（0，6），

令y＝0，得到x＝8，可得D（8，0），

AC＝AO＝6，OD＝8，AD，

设BC＝OB＝x，则BD＝，

在Rt△BCD中，∵BC2+CD2＝BD2，

x＝3，

OB=3．

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+6（k≠0），

OB=3，即B（3，0），

把B（3，0）代入y＝kx+6得，

3k+6＝0，

直线AB的解析式为y＝-2x+6，

作GM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，

△DFG是等腰直角三角形，

DG＝FD，∠GDF=90°，

在△DMG和△FND中，

GM＝DN，DM＝FN，设GM＝DN＝m，DM＝FN＝n，

G、F在直线AB上，

则：，

解得：

ON=OD-DN=8-2=6，

F（6，-6）．

（3）如图，设Q（a，），

PQ//x轴，且点P在直线上，

P（），

PQ，作QH⊥x轴于H．

∴，

，

由勾股定理可知：QH：DH：DQ＝3：4：5，

四边形PQDE为菱形，

Q（16，-6），P（6，-6），