Question

15．如图，矩形ABCD中，BC=2AB=4，AE平分∠BAD交边BC于点E，∠AEC的分线交AD于点F，以点D为圆心，DF为半径画圆弧交边CD于点G，则$\widehat{FG}$的长为（2-$\sqrt{2}$）π．

Answer 1

分析 先由矩形的性质得出，∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=BC=4，AD∥BC，根据AE平分∠BAD得到∠BAE=∠EAD=45°，那么△ABE是等腰直角三角形，于是AB=BE=2，AE=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$．再由∠AEC的分线交AD于点F，∠AEF=∠CEF，由AD∥BC，得出∠CEF=∠AFE，等量代换得到∠AEF=∠AFE，那么AF=AE=2$\sqrt{2}$，DF=AD-AF=4-2$\sqrt{2}$，然后根据弧长的计算公式即可求出$\widehat{FG}$的长．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=BC=4，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD交边BC于点E，
∴∠BAE=∠EAD=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE=2，AE=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$．
∵∠AEC的分线交AD于点F，
∴∠AEF=∠CEF，
∵AD∥BC，
∴∠CEF=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AF=AE=2$\sqrt{2}$，
∴DF=AD-AF=4-2$\sqrt{2}$，
∴$\widehat{FG}$的长为：$\frac{90π×（4-2\sqrt{2}）}{180}$=（2-$\sqrt{2}$）π．
故答案为（2-$\sqrt{2}$）π．

点评 本题考查了矩形的性质，角平分线定义，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，弧长的计算，求出DF=4-2$\sqrt{2}$是解题的关键．