Question

【题目】如图①，在中， ， ，将绕点顺时针旋转得，连接、．直线、交于点．

（）当时， __________．

（）在旋转过程中，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值．若不存在，说明理由．

（）如图②．若中， ，其余条件不变，四边形的面积是否存在最大值？若存，求出最大值．若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（）存在，理由见解析；（）存在，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形两底角相等，即可解决问题．

（2）存在．首先证明∠AMC=90°，在Rt△ABC中，根据AB=4，BC=3，可得，可得S△ABC=×3×4=6，因为当△ACM的面积最大时，四边形ABCM的面积最大，因为△ACM是直角三角形，AC=5，所以当AM=CM=时，△ACM的面积最大，最大值为=，由此即可解决问题．

（3）存在．如图②中，作AN⊥BC于N．首先证明∠AMC=60°，在Rt△ABN中，AB=4，∠ABN=60°，推出BN=AB=2，AN=，在Rt△ACN中， ，可得S△ABC=×3×2= ，因为当△ACM的面积最大时，四边形ABCM的面积最大，因为∠AMC=60°所以当△ACM是等边三角形时，△ACM的面积最大，由此即可解决问题．

解：（）∵， ，

∴．

故答案为．

（）存在，理由如下，

如图①中，

∵，

∴，

∵， ，

∴， ，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

在中，∵， ，

∴，

∵，

∴当的面积最大时，四边形的面积最大，

∵是直角三角形， ，

∴当时， 的面积最大，最大值为，

∴四边形的面积的最大值为．

（）存在，理由如下，

如图②中，作于，

∵，

∴，

∵， ，

∴， ，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

在中，∵， ，

∴， ，

在中， ，

∴，

∴当的面积最大时，四边形的面积最大，

∵，

∴当是等边三角形时， 的面积最大，

最大值为，

∴四边形的面积的最大值为．