Question

△ABC是边长为2的等边三角形，点P、Q分别从A、C两点同时出发做匀速直线运动，且它们的速度相等．已知点P沿边射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，设PQ与直线AC相交于点D，作PE⊥AC，垂足是E．
（1）当点P在线段AB上运动时，求证：2DE=AC；
（2）当点P、Q继续运动时，（1）中的结论还成立吗？若成立在备图中画出图形并证明．如不成立指出DE与AC的关系并说明理由．

Answer 1

分析：作QF⊥AC，交直线AC的延长线于点F，易证△APE≌△CQF，可得AE=FC，PE=QF且PE∥QF，所以，四边形PEQF是平行四边形，即DE=

1

2

EF，等量代换得，DE=

1

2

AC，根据已知，即可得出DE的长为定值．

解答：解：（1）证明：如图1，作QF⊥AC，交直线AC的延长线于点F，
又∵PE⊥AC于E，
∴∠CFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q做匀速运动且速度相同，
∴AP=CQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=∠FCQ=60°，
∴在△APE和△CQF中，

∠A=∠FCQ ∠AEP=∠CFQ=90° AP=CQ

，
∴△APE≌△CQF（AAS），
∴AE=FC，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=

1

2

EF，
∵EC+CF=EC+AE=AC，
∴DE=

1

2

AC，

（2）当点P、Q运动时，（1）中的结论还成立．理由如下：
如图2，作QF⊥AC，交直线AC的延长线于点F，连接EQ，PF．
同（1），推知△APE≌△CQF（AAS），
∴AE=FC，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=

1

2

EF，
∵EC+CF=EC+AE=AC，
∴DE=

1

2

AC．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形及平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定及性质的运用，是解答本题的关键．