Question

18．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，H是对角线BD上任意一点．

（1）如图1，当H是线段BD的中点，且AB=6时，求△DBC的面积；
（2）如图2，当点H不是线段BD的中点时，I是线段CB延长线上一点，且DH=BI，连接CH、HI．求证：CH=HI．

Answer 1

分析 （1）由在菱形ABCD中，∠A=60°，易得△BCD是等边三角形，又由H是线段BD的中点，且AB=6，可得CH⊥BD，BD=BC=6，继而求得CH的长，则可求得△DBC的面积；
（2）首先过点H作GH∥BC，交CD于点G，易得△DGH是等边三角形，则可得CG=BH，GH=BI，∠CGH=∠HBI=120°，则可证得△CGH≌△HBI（SAS），继而证得结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=DC，∠BCD=∠A=60°，BC=AB=6，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=6，
∵H是线段BD的中点，
∴BH=$\frac{1}{2}$BD=3，CH⊥BD，
∴CH=$\sqrt{B{C}^{2}-B{H}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_△DBC=$\frac{1}{2}$BD•CH=9$\sqrt{3}$；

（2）过点H作GH∥BC，交CD于点G，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠DHG=∠DBC=60°，∠DGH=∠DCB=60°，CD=BD，
∴△DGH是等边三角形，
∴DH=DG=GH，∠DGH=∠DBC=60°，
∴CG=HB，∠CGH=∠HBI，
∵DH=BI，
∴GH=BI，
在△CGH和△HBI中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=HB}\\{∠CGH=∠HBI}\\{GH=BI}\end{array}\right.$，
∴△CGH≌△HBI（SAS），
∴CH=HI．

点评 此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．