Question

7．如图，线段AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，连结AD，点E是AD的中点，连结BE并延长交CD于F点．
（1）请说明△ABE≌△DFE的理由；
（2）连结CE，若CE⊥AD，DE=2CE，CD=$\sqrt{5}$，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠D，∠ABE=∠DFE，然后利用“角角边”证明即可；
（2）设CE=x，表示出DE=2x，在Rt△CDE中，利用勾股定理列方程求解即可得到CE，再根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=2CE．

解答 （1）证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠D，∠ABE=∠DFE，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△ABE≌△DFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠ABE=∠DFE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DFE（AAS）；

（2）解：设CE=x，∵DE=2CE，
∴DE=2x，
∵CE⊥AD，CD=$\sqrt{5}$，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE²+DE²=CD²，
∴x²+（2x）²=（$\sqrt{5}$）²，
解得x=1，
由（1）可知△ABE≌△DFE，
∴BE=EF，
又∵CD⊥BC，
∴BF=2CE=2．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．