Question

如图，AC是⊙O直径，△ABC内接于⊙O，E是BC边上一个动点（与B、C不重合），连结AE，并延长交⊙O于点D，连结CD．已知⊙O的半径为1，∠BAC=60°．
（1）当E为BC的中点时，求的值；
（2）设CE为x，求的值（用含x的代数式表示）；
（3）能否找到一个点E，使得=8-2？如果能，求出点E的位置；如果不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出BC、BE、CE的长，根据勾股定理求出AE，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出DC，代入求出即可；
（2）求出BC、BE、CE的长，根据勾股定理求出AE，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出DC，代入求出即可；
（3）根据（2）的结果得出方程，求出发出的解即可．
解答：解：（1）∵AC是⊙O直径，
∴∠ABE=∠ADC=90°，
∵∠BAC=60°，AC=1+1=2，
∴∠BCA=30°，
∴AB=1，由勾股定理得：BC=，
∵E为BC的中点，
∴CE=BE=，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE==，
∵∠ABE=∠ADC=90°，∠AEB=∠DEC，
∴△AEB∽△CED，
∴=，
∴CD==，
∴==．

（2）∵CE=x，
∴BE=-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=，
∵∠ABE=∠ADC=90°，∠AEB=∠DEC，
∴△AEB∽△CED，
∴=，
∴CD=，
∴==．

（3）假设存在E点，使得=8-2，
则=8-2，
解得：x=4+2（大于直径AC的长2，舍去），x=4-2，
即存在E点，使得=8-2，此时CE=4-2．
点评：本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．