Question

如图，已知矩形ABCD，点P为矩形内任意一点，连结PA、PB、PC、PD．求证：PA²＋PC²＝PB²＋PD²．

Answer 1

答案：
解析：

分析：构造直角三角形，应用勾股定理证明． 　　证明：过点P作EF⊥AB，交AB于点E，交CD于点F，作GH⊥BC，交AD于点G，交BC于点H，则EF⊥CD，GH⊥AD，AE＝DF，BE＝PH，CH＝PF． 　　在Rt△AEP、Rt△BEP、Rt△CHP、Rt△DFP中，分别运用勾股定理，得PA2＝AE2＋PE2，PB2＝BE2＋PE2，PC2＝PH2＋CH2，PD2＝PF2＋DF2． 　　所以PA2＋PC2＝AE2＋PE2＋PH2＋CH2＝DF2＋PE2＋BE2＋PF2＝(BE2＋PE2)＋(PF2＋DF2)＝PB2＋PD2． 　　所以PA2＋PC2＝PB2＋PD2． 　　点评：当点P在矩形的一条边上或在矩形的外部时，上述结论同样成立．有兴趣的同学可以证明一下．