Question

如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧相外切F，若AB=4，
（1）求半⊙E的半径r的长；
（2）求四边形ADCE的面积；
（3）连接DB、DF，设∠BDF=α，∠AEC=β；求证：β-2α=90°．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABE中，AB=BC=AF=AD=DC=4，
BE=BC-CE=4-r，AE=BF+EF=4+r，
∵AE²=AB²+BE²，
∴（4+r）²=4²+（4-r）²，
解得：r=1，
答：半⊙E的半径r的长是1．

（2）梯形ADCE的面积是S=DC（AD+CE）=×4×（4+1）=10，
答：四边形ADCE的面积是10．

（3）证明：∵∠AEC是Rt△ABE的外角，
∴β=∠BAE+90°，
∵∠BDF=∠BAE，
∴α=∠BAE，
即∠BAE=2α，
∴β=2α+90°，
即β-2α=90°．
分析：（1）根据正方形的性质求出AB、AE、BE的长，在Rt△ABE中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（2）根据梯形的面积公式求出即可；
（3）根据三角形的外角性质求出β=∠BAE+90°，根据圆周角定理得出∠BDF=∠BAE，代入求出即可．
点评：本题综合考查了圆周角定理、勾股定理、正方形的性质、相切两圆的性质等知识点，用的数学思想是方程思想，主要考查学生能否综合运用定理进行计算，培养了学生分析问题和解决问题的能力．