Question

19．如图，在平面直角坐标系中，设点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且顶点P在⊙C上．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）试确定此抛物线的解析式
（3）在该抛物线是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点C作DC⊥AB，垂足为D．由垂径定理可知：AD=DB，然后由勾股定理可求得AD的长，从而得到点A和点B的坐标；
（2）由图形的对称性可知P在CD上，从而可求得点P的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+3，将点B的坐标代入可得到a的值，从而可得到抛物线的解析式；
（3）取OP的中点E，连接CE，并延长CE到D使ED=CE．首先由线段的中点坐标公式求得点D的坐标，然后判断点D是否在抛物线上即可．

解答 解：如图1所示：过点C作DC⊥AB，垂足为D．

∵CD⊥AB，
∴AD=DB．
∵在Rt△ADC中，AC=2，CD=1，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴DB=$\sqrt{3}$．
∴A（1-$\sqrt{3}$，0）、B（1$+\sqrt{3}$，0）．
（2）如图1所示：
∵点A与点B关于CD对称，
∴CD为抛物线的对称．
∴点P在CD上．
∵CD=1，CP=2，
∴PD=3．
∴P（1，3）．
设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+3．
∵将点B的坐标代入得：3a+3=0，解得：a=-1，
∴抛物线的解析式y=-（x-1）²+3，即y=-x²+2x+2．
（3）存在．
理由：如图2所示：取OP的中点E，连接CE，并延长CE到D使ED=CE．

设点D的坐标为（x，y）．
∵OP与CD相互平分，
∴$\frac{x+1}{2}=\frac{0+1}{2}$，$\frac{y+1}{2}=\frac{3+0}{2}$．
∴x=0，y=2．
∵将x=0代入抛物线的解析式得y=2，
∴点D在抛物线上．
∴当点D的坐标为（0，2）时，OP与CD相互平分．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了垂径定理、勾股定理、待定系数法求二次函数的解析式、线段的中点坐标公式，求得点P的坐标是解答问题（2）的关键；利用线段中点坐标公式求得点D的坐标是解答问题（3）的关键．