Question

7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB，△BDC为等腰直角三角形，∠BDC=90°，BD=CD；CE与BD交于F，连AF，M为BC中点，连接DM交CE于N．请说明：
（1）△ABD≌△NCD；
（2）CF=AB+AF．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠ABD=∠DCN，∠ADB=∠CDN=45°，即可解决问题．
（2）先证明△FDA≌FDN，得到AF=FN，再根据AB=CN，即可证明．

解答 证明：（1）∵CE⊥AB，
∴∠BEF=∠CDF=90°，
∵∠ABD+∠EFB=90°，∠DCF+∠DFC=90°，∠EFB=∠DFC，
∴∠ABD=∠DCN，
∵DB=DC，∠BDC=90°，BM=CM，
∴∠MDB=∠MDC=∠DBC=45°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠ADB=∠CDN，
在△ADB和△NDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CDN}\\{∠ABD=∠DCN}\\{BD=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△NCD．

（2）∵△ABD≌△NCD，
∴AD=DN，AB=CN，
在△FDA和△FDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DF}\\{∠ADF=∠FDN}\\{DA=DN}\end{array}\right.$，
∴△FDA≌△FDN，
∴AF=FN，
∴CF=CN+FN=AB+AF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．