Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．

（1）如图1，若直线AD与BC相交于M，过点B作AM的垂线，垂足为D，连接CD并延长BD至E，使得DE＝DC，过点E作EF⊥CD于F，证明：AD＝EF+BD．

（2）如图2，若直线AD与CB的延长线相交于M，过点B作AM的垂线，垂足为D，连接CD并延长BD至E，使得DE＝DC，过点E作EF⊥CD交CD的延长线于F，探究：AD、EF、BD之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AD+BD＝EF，理由见解析．

【解析】

（1）将△ABD绕点A逆时针方向旋转90°至△ACG，得到BD＝CG，延长GC交DE于点H，证明四边形ADHG为正方形，则AD＝GH，证明△DEF≌△DCH，得到EF＝CH，则得出结论；

（2）作CN⊥AM，证明△DEF≌△CDN，得到EF＝DN，证明△ADB≌△CNA．得到BD＝AN．则AD+AN＝DN＝EF．

证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴△ABC为等腰直角三角形，

如图1，将△ABD绕点A逆时针方向旋转90°至△ACG，

∴BD＝CG，

延长GC交DE于点H，

∵AD⊥BE，∠DAG＝∠AGC＝90°，AD＝AG，

∴四边形ADHG为正方形，

∴∠DHC＝90°，

∴AD＝GH，

∵DE＝DC，EF⊥CD，∠EDF＝∠CDH，

∴△DEF≌△DCH（AAS），

∴EF＝CH，

∴AD＝GH＝GC+CH＝EF+BD；

（2）AD+BD＝EF，理由如下：

作CN⊥AM，

∵AD⊥BE，

∴∠EDF+∠ADC＝90°，

∵∠DCN+∠ADC＝90°，

∴∠EDF＝∠DCN，

∵∠F＝∠DNC＝90°，DE＝DC，

∴△DEF≌△CDN（AAS），

∴EF＝DN，

∵∠BAC＝90°，

∴∠DAB+∠NAC＝90°，

又∵∠DAB+∠DBA＝90°，

∴∠NAC＝∠DBA，

∵AB＝AC，

∴△ADB≌△CNA（AAS）．

∴BD＝AN．

∴AD+AN＝DN＝EF，

∴AD+BD＝EF．