Question

【题目】如图，⊙E的圆心E(3，0)，半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点(点A在点B的上方)，与x轴的正半轴相交于点C；直线l的解析式为y=x＋4，与x轴相交于点D；以C为顶点的抛物线经过点B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；

(3) 动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x-4；（2）直线l与⊙E相切与A．(3) 抛物线上的动点P的坐标为（2，-）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为．

【解析】

试题分析：（1）连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，利用勾股定理求出OA的长，结合垂径定理求出OC的长，从而得到C点坐标，进而得到抛物线的解析式；

（2）求出点D的坐标为（-，0），根据△AOE∽△DOA，求出∠DAE=90°，判断出直线l与⊙E相切与A．

（3）过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M．设M（m，m+4），P（m，-m2+m-4），得到PM=m+4-（-m2+m-4）=m2-m+8=（m-2）2+，根据△PQM的三个内角固定不变，得到PQ最小=PM最小sin∠QMP=PM最小sin∠AEO=×=，从而得到最小距离．

试题解析：（1）如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，

在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA=，

∵OC⊥AB，

∴由垂径定理得，OB=OA=4，

OC=OE+CE=3+5=8，

∴A（0，4），B（0，-4），C（8，0），

∵抛物线的顶点为C，

∴设抛物线的解析式为y=a（x-8）2，

将点B的坐标代入上解析的式，得64a=-4，故a=-，

∴y=-（x-8）2，

∴y=-x2+x-4为所求抛物线的解析式，

（2）在直线l的解析式y=x+4中，令y=0，得x+4=0，解得x=-，

∴点D的坐标为（-，0），

当x=0时，y=4，

∴点A在直线l上，

在Rt△AOE和Rt△DOA中，

∵，，

∴，

∵∠AOE=∠DOA=90°，

∴△AOE∽△DOA，

∴∠AEO=∠DAO，

∵∠AEO+∠EAO=90°，

∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，因此，直线l与⊙E相切与A．

（3）如图2，过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M．

设M（m，m+4），P（m，-m2+m-4），则

PM=m+4-（-m2+m-4）=m2-m+8=（m-2）2+，

当m=2时，PM取得最小值，

此时，P（2，-），

对于△PQM，

∵PM⊥x轴，

∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，

又∠PQM=90°，

∴△PQM的三个内角固定不变，

∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，

∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，

PQ最小=PM最小sin∠QMP=PM最小sin∠AEO=×=，

∴当抛物线上的动点P的坐标为（2，-）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为．