Question

【题目】平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A，C的坐标分别为（-3，0），（0，3），对称轴直线x=-1交x轴于点E，点D为顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点K是直线AC下方的抛物线上一点，且S△KAC=S△DAC求点K的坐标；

（3）如图2若点P是线段AC上的一个动点，∠DPM=30°，DP⊥DM，则点P的线段AC上运动时，D点不变，M点随之运动，求当点P从点A运动到点C时，点M运动的路径长．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）点K的坐标为（，）或（，）；(3) ．

【解析】

试题分析：（1）根据条件可得到关于a、b、c的三元一次方程组，只需解这个方程组就可解决问题；

（2）过点D作DH⊥y轴于H，连接EK交y轴于F，连接EC，如图1，运用割补法可求出△DAC的面积，易得S△ADC=S△AEC，由S△KAC=S△DAC，可得S△KAC=S△EAC，从而可得EK∥AC，根据平行线分线段成比例可求出OF，然后运用待定系数法可求出直线EK的解析式，只需求出直线EK与抛物线的交点坐标就可解决问题；

（3）设点P在点A处时点M在点M′，点P在点C处时点M在点M″，如图2．易证△DPC∽△DMM″，△DAC∽△DM′M″，从而可得∠DM″M=∠DM″M′=∠DCP，由于∠DCP是定值，因此点M的运动路径是线段M′M″，然后只需根据△DM′M″∽△DAC，运用相似三角形的性质就可解决问题．

试题解析：（1）由题意可得，

解得，

∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；

（2）过点D作DH⊥y轴于H，连接EK交y轴于F，连接EC，如图1．

由y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4可得顶点D为（-1，4），

∴S△ADC=S梯形AOHD-S△OAC-S△DHC

=（1+3）×4-×3×3-×1×（4-3）=3．

又∵S△AEC=AEOC=×2×3=3，

∴S△ADC=S△AEC．

∵S△KAC=S△DAC，

∴S△KAC=S△EAC，

∴EK∥AC，

∴，

∴，

∴OF=1，F（0，1）．

设直线EK的解析式为y=mx+n，则有，

解得，

∴直线EK的解析式为y=x+1．

解方程组，得，

∴点K的坐标为（，）或（，）；

（3）设点P在点A处时点M在点M′，点P在点C处时点M在点M″，如图2．

∵∠CDM″=∠PDM=90°，∠DPM=∠DCM″=30°，

∴，∠PDC=∠MDM″，

∴△DPC∽△DMM″，

∴∠DCP=∠DM″M．

同理可得△DAC∽△DM′M″，

∴∠DCA=∠DM″M′．

∴∠DM″M=∠DM″M′=∠DCP，

∵∠DCP是定值，

∴点M的运动路径是线段M′M″．

∵△DM′M″∽△DAC，

∴．

∵AC=，

∴M′M″=，

∴点M的运动路径长为．