Question

（2012•南浔区二模）如图，点A（a，b）是抛物线y=

1

2

x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：过点A、B分别作x轴的垂线，通过构建相似三角形以及函数解析式来判断①②是否正确．△AOB的面积不易直接求出，那么可由梯形的面积减去构建的两个直角三角形的面积得出，根据得出的式子判断这个面积是否为定值．利用待定系数法求出直线AB的解析式，即可判断④是否正确．

解答：解：过A、B分别作AC⊥x轴于C、BD⊥x轴于D，则：AC=b，OC=-a，OD=c，BD=d；
（1）由于OA⊥OB，易知△OAC∽△BOD，有：

AC

OD

=

OC

BD

，即

b

c

=

-a

d

∴ac=-bd（结论②正确）．

（2）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式中，有：
b=

1

2

a²…Ⅰ、d=

1

2

c²…Ⅱ；
Ⅰ×Ⅱ，得：bd=

1

4

a²c²，即-ac=

1

4

a²c²，ac=-4（结论①正确）．

（3）S_△AOB=S_梯形ACDB-S_△ACO-S_△BOD
=

1

2

（b+d）（c-a）-

1

2

（-a）b-

1

2

cd
=

1

2

bc-

1

2

ad=

1

2

（bc-

-4

c

•

4

b

）=

1

2

（bc+

16

bc

）
由此可看出，△AOB的面积不为定值（结论③错误）．

（4）设直线AB的解析式为：y=kx+h，代入A、B的坐标，得：
ak+h=b…Ⅲ、ck+h=d…Ⅳ
Ⅲ×c-Ⅳ×a，得：
h=

bc-ad

c-a

=

1 2 a2c- 1 2 ac2

c-a

=-

1

2

ac=2；
∴直线AB与y轴的交点为（0，2）（结论④正确）．
综上，共有三个结论是正确的，它们是①②④，故选C．

点评：题目涉及的考点并不复杂，主要有：利用待定系数法确定函数解析式、相似三角形的判定和性质以及图形面积的解法，难就难在式子的变形，可以将已知的条件列出，通过比较式子间的联系来找出答案．