Question

二次函数y=

2

3

x²的图象如图所示，点A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₄在y轴正半轴上，B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₄在二次函数第一象限的图象上，若△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₁₃B₂₀₁₄A₂₀₁₄都为等边三角形，求：△OB₁A₁的边长

 

，△A₁B₂A₂的边长

 

，探究△A₂₀₁₃B₂₀₁₄A₂₀₁₄的边长

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象上点的坐标特征,等边三角形的性质

专题：规律型

分析：设△OB₁A₁的边长为a，根据等边三角形的性质表示出B₁的坐标，然后代入二次函数解析式求解即可，△A₁B₂A₂的边长为b，表示出B₂的坐标，然后代入函数解析式得到关于b的方程求解即可，同理求出等边三角形△A₂B₃A₃的边长，从而得到规律．

解答：解：设△OB₁A₁的边长为a，
则点B₁（

3

2

a，

1

2

a），
∵B₁在二次函数y=

2

3

x²的图象上，
∴

2

3

×（

3

2

a）²=

1

2

a，
解得a₁=1，a₂=0（舍去），
设△A₁B₂A₂的边长为b，
则点B₂（

3

2

b，

1

2

b+1），
∵B₂在二次函数y=

2

3

x²的图象上，
∴

2

3

×（

3

2

b）²=

1

2

b+1，
整理得，b²-b-2=0，
解得b₁=2，b₂=-1（舍去），
同理，等边三角形△A₂B₃A₃的边长为3，
…，
△A₂₀₁₃B₂₀₁₄A₂₀₁₄的边长为2014．
故答案为：1，2，2014．

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，熟记性质并表示出点B系列的坐标是解题的关键．