Question

【题目】如图，边长为的正方形的边在轴负半轴上，点在第三象限内，点的坐标为，经过点的抛物线交轴于点，其顶点为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若轴左侧抛物线上一点关于轴的对称点恰好落在直线上，求点的坐标；

（3）连接，，，请你探究在轴左侧的抛物线上，是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在，或

【解析】

（1）本题考查二次函数解析式的求法，利用待定系数法求解即可．

（2）本题考查点关于直线的对称、二次函数以及一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数解析式，并假设未知数表示未知点的坐标，将其带入列方程求解．

（3）本题考查二次函数动点存在性问题，需要采取分类讨论的方式，利用相似三角形的判定以及性质求解本题．

（1）依题意得，，将A,C两点代入二次函数解析式得：

，

∴

（2）由二次函数解析式可知M(-3,-4)，设直线MC解析式为y=kx+b

将M，C点代入一次函数解析式得：

设点，则在直线上．

，，

点 的坐标为或．

（3）存在点满足条件，

作轴，轴，垂足分别为，

依题意易知，，，，，．

①当点在点的右侧时，如下图所示

，，

，，

，

，

，，解得，（舍去）

则，故点．

②当点在点的左侧时，如下图所示

同①可证，

，，解得，（舍去）

则，故点．

综上所述，存点或，使．