Question

如图，在直角坐标系中点O′的坐标为（2，0），⊙O′与x轴交于原点O和点A，又B、C、E三点的坐标分别为（-1，0）、（0，3）、（0，b），且0＜b＜3．
（1）求点A的坐标和经过B、C两点的直线的解析式；
（2）当点E在线段OC上移动时，直线BE与⊙O′有哪几种位置关系？并写出每种位置关系时b的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵点O′的坐标为（2，0），
∴A（4，0）．
设经过B、C两点的直线的解析式是y=kx+3，
把（-1，0）代入，得
-k+3=0，
k=3．
则直线BC的解析式是y=3x+3．

（2）设直线BE与⊙O′相切于点D，连接O′D，则O′D⊥BE．
根据勾股定理，得BD==．
根据两角对应相等，得△BOE∽△BDO′，
则，
即b==．
所以当0＜b＜时，直线和圆相交；
当b=时，直线和圆相切；
当＜b＜3时，直线和圆相离．
分析：（1）根据点O′的坐标，直接求得点A的坐标，运用待定系数法求得经过B、C两点的直线的解析式；
（2）首先求得直线BE与⊙O′相切时，与y轴的交点坐标，进而分情况考虑．
点评：此题综合考查了运用待定系数法求函数解析式的方法、相似三角形的判定和性质以及直线和圆的位置关系与数量之间的联系．