Question

【题目】如图1，点A是⊙O外一点．

（1）过点A作⊙O的切线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）如图2，设AC是⊙O的切线，点C是切点，已知tan∠A＝，求tan∠ABC的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）如图，作线段AO的垂直平分线MN交AO于K，以K为圆心，OK为半径画弧交⊙O于点C，连接AC，OC，直线AC即为所求；

（2）作CH⊥OA于H．证明∠A=∠OCH，推出tan∠A=tan∠OCH=，设OH=a，CH=2a，则OC=OB=a，在Rt△BCH中，根据tan∠ABC=求解即可．

解：（1）如图，如图，作线段AO的垂直平分线MN交AO于K，以K为圆心，OA为半径画弧交⊙O于点C，连接AC，OC，直线AC即为所求．

（2）作CH⊥OA于H．

∵AC是⊙O的切线，

∴AC⊥OC，

∴∠ACO＝∠CHO＝90°，

∵∠A+∠AOC＝90°，∠OCH+∠AOC＝90°，

∴∠A＝∠OCH，

∴tan∠A＝tan∠OCH＝＝，设OH＝a，CH＝2a，则OC＝OB＝a，

在Rt△BCH中，tan∠ABC＝．